微积分其实很简单！

只有理解，才会应用！

本专栏将和您一起，从最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正内化吸收微积分的核心概念与算法，帮您轻松掌握与应用！

前两课我们首先讲了导数/微分：

导数的“导”，理解为“方向”。

方向决定了函数的运行，所以“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。

进一步，借助泰勒展开公式加深了对导数“原因”作用的认识。

泰勒展开公式，是对展开点附近的函数，进行的一个“误差可控多项式仿真”。

导数（原因），把结果和现状联系在了一起

函数 F(x) 的导函数为 F'(x)，如果定义 F'(x)=f(x)，则：

f(x) 是 F(x) 的导函数；

F(x) 是 f(x) 的原函数。

这里注意，F(x) +C 的导数也是 f(x)，所以

f(x) 有一族原函数—— F(x) +C

（C在数学里表示常数，常数的导数为0）

表示为：

等号左边那堆，叫做 f(x) 的“不定积分”。

为啥“不定”呢？

主要是为了相对于下面要讲的“定积分”，而且不定积分有“一族”而不是“一个”（下面会讲）。

思考一个问题，为什么从原函数 F 到 导函数 f ，没有常数C的出现；而从导函数 f 到原函数 F 就突然多出来一个 常数 C 呢？

因为，原函数与导函数不在一个维度上！

维度不同，角度完全不同！

原函数比导函数低一个维度！

为什么这么说？

举个例子，一个灯下的三维物体，比如如一个橄榄球，向墙面上的投影可能是一个椭圆，但是换一个角度再去投影，影子完全可能是另一个大小/形状，有可能变成一个圆形！

即，三维物体有无穷多个二维的投影。

正如，导函数有无穷多个原函数！

低维的原函数 是 高维的导函数 的投影。

投影，将三维信息降为了二维信息

常数 C ，就是代表灯与物所成的一系列角度罢了。

原因（导函数）在高维，比如小车的速度 v，这是本身一个高维的信息，因为它：

1. 决定了低维信息位移 s；
2. “不直观”，如果不投影低维的位移信息，我们甚至不易理解；
3. 表达简单，“高维的表达反而简单”。

第三条详细解释一下，这个原理叫：

高维低阶

举个例子，位移 s=x^2 +x+1，则速度v=2x+1。

发现什么了？v比s的阶低，v是1次多项式，s是2次多项式。

高维下的表达，往往就比低维下简单！

二维到三维，是工程制图的升维飞跃

学过工程制图的同学深有体会，一个复杂结构，如果画在平面图中，需要有：正视图/左视图/上视图/甚至斜视图/剖面图等等，特别复杂，但如果在三维作图软件中作三维模型，一个模型就足够了。

就是这个道理。

物理学发展史中，这样的故事层出不穷。最开始探索的物理学家的理解比较浅也比较局限，提出的理念往往很复杂，后来的物理学家在他们基础上，统一整合了一类理论，提出新的理论反而是形式简洁美妙，这就是升维思维的奇功。

简洁的物理公式，其实是最高级的

不定积分，在数学上最大的意义就是求原函数，手算方法很多：

换元积分法 分部积分法 等

教材上都一样，咱们直接用MATLAB解决问题：

SO EASY!

提问，如何求一个曲线 f(x) 下包围的面积？

我们采用分割法，把曲线下分割成许多小矩形，如图：

当分割得越来越小，面积就越来越接近真实值。

然后把它们加起来，这就是“定积分”。

这就是定积分在书本上的定义，从中也能看出，积分其实就是求和，你看积分号长得就像一个拉长的 S 啊，S就是 sum 呗！

定积分到底在算啥？

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