在这篇文章中，由于有大量的资源可以解释梯度下降，我想在视觉上引导您了解每种方法的工作原理。 借助我构建的梯度下降可视化工具，希望我可以为您提供一些独特的见解，或者至少提供许多GIF。

我假设对在机器学习中使用梯度下降的原因和方式有基本的了解（如果没有，我推荐3Blue1Brown推荐该视频）。 我在这里的重点是比较和对比这些方法。 如果您已经熟悉所有方法，则可以滚动至底部，观看一些有趣的”赛马”。

普通梯度下降

让我们快速复习一下。 在机器学习的上下文中，梯度下降的目标通常是使机器学习问题的损失函数最小化。 好的算法可以快速，可靠地找到最小值（即，它不会陷入局部最小值，鞍点或平稳区域，而会求出全局最小值）。

基本的梯度下降算法遵循这样的思想，即梯度的相反方向指向下部区域的位置。 因此，它会沿梯度的相反方向迭代地采取步骤。 对于每个参数theta，它执行以下操作：

增量=-学习率*梯度

θ+ =增量

Theta是您要优化的一些参数（例如，神经网络中神经元到神经元连接的权重，线性回归中特征的系数等）。 机器学习优化设置中可能有成千上万个这样的theta。 Delta是算法每次迭代后theta的变化量； 希望随着每个这样的变化，θ逐渐接近最佳值。

由于人类的感知仅限于3维，因此在我所有的可视化中，假设我们只有两个参数（或theta）需要优化，它们由图中的x和y维表示。 表面是损失函数。 我们想找到位于表面最低点的（x，y）组合。 这个问题对我们来说微不足道，因为我们可以看到整个表面。 但是，球（下降算法）却没有； 它一次只能迈出一步，并探索周围的环境，就像只用手电筒在黑暗中行走一样。

Vannilla梯度下降法是普通的，因为它仅对梯度起作用。 以下方法对梯度进行了一些其他处理，以使其更快，更好。

动量

> Momentum descent with decay_rate = 1.0 (no decay).

动量算法（或简称为动量）的梯度下降借鉴了物理学的思想。 想象一下，将球滚动到无摩擦碗内。 累积的动量并没有停止在底部，而是将其向前推动，并且球不断来回滚动。

我们可以将动量的概念应用于我们的香草梯度下降算法。 在每个步骤中，除了规则的渐变以外，它还增加了上一步的运动。 在数学上，它通常表示为：

增量=-学习率梯度+上一个增量衰变率（eq.1）

θ+ =增量（等式2）

如果稍微按摩一下该方程式，然后跟踪（衰减的）累积梯度总和，我会发现它更直观。 当我们稍后介绍Adam算法时，这也将使事情变得更容易。

sum_of_gradient =梯度+ previous_sum_of_gradient *衰减率（eq.3）

delta = -learning_rate * sum_of_gradient（等式4）

θ+ =增量（等式5）

（我所做的是剔除-learning_rate。要查看数学上的等价关系，您可以在等式1中用-learning_rate * sum_of_gradient代替delta以得到等式3。）

> Step-by-step illustration of momentum descent. Watch live animation in the app. For the rest of th

让我们考虑两种极端情况，以便更好地了解此衰减率参数。 如果衰减率为0，则它与（香草）梯度下降完全相同。 如果衰减率为1，则它会像我们在开头提到的无摩擦碗类推一样不断地来回摇摆； 你不希望出现这种情况。 通常，衰减率大约在0.8-0.9之间选择-就像表面上有一点摩擦，因此它最终会减速并停止。

> Momentum (magenta) vs. Gradient Descent (cyan) on a surface with a global minimum (the left well)

那么，动量在哪些方面比香草梯度下降更好？ 在左侧的比较中，您可以看到两个优点：

· 动量只是移动得更快（因为它累积了所有动量）

· 动量有逃避局部最小值的作用（因为动量可能将其推离局部最小值）。 同样，正如我们稍后将看到的那样，它还将更好地通过高原地区。

AdaGrad

自适应梯度算法（或简称AdaGrad）不是跟踪动量之类的梯度总和，而是跟踪梯度平方的总和，并使用它来适应不同方向的梯度。 方程通常用张量表示。 在这里，我将避免张量来简化语言。 对于每个维度：

sum_of_gradient_squared =上一个sum_of_gradient_squared +渐变²

增量= -learning_rate *梯度/ sqrt（sum_of_gradient_squared）

θ+ = 增量

> Step-by-step illustration of AdaGrad descent. Watch live animation in the app.

在ML优化中，某些功能非常稀疏。 稀疏特征的平均梯度通常很小，因此以慢得多的速度训练这些特征。 解决此问题的一种方法是为每个功能设置不同的学习率，但这会很快变得混乱。

AdaGrad使用这种想法解决了这个问题：您更新的功能越多，将来更新的功能就越少，从而为其他功能（例如稀疏功能）提供了赶超的机会。 用视觉术语来说，您更新了此功能有多少表示您在此维度中已移动了多少，并且此概念是由梯度平方的累积和所捕获的。 请注意，在上面的逐步网格图示中，如果没有重新调整缩放比例（1b），球将大部分垂直向下移动； 通过调整（1d），它会沿对角线移动。

> AdaGrad (white) vs. gradient descent (cyan) on a terrain with a saddle point. The learning rate of

此属性使AdaGrad（以及其他类似的基于梯度平方的方法，如RMSProp和Adam）可以更好地逃避鞍点。 AdaGrad将走一条直线，而梯度下降（或相关的动量）则采取”让我先滑下陡坡，然后再担心慢速方向”的方法。 有时，香草梯度下降可能会在两个方向的梯度均为0且在此处完全满足的鞍点处停止。

RMSProp

但是，AdaGrad的问题在于它的运行速度非常慢。 这是因为梯度平方的总和只会增加而不会缩小。 RMSProp（用于均方根传播）通过添加衰减因子来解决此问题。

sum_of_gradient_squared = previous_sum_of_gradient_squared * * decay_rate +梯度²*（1- delay_rate）

增量= -learning_rate *梯度/ sqrt（sum_of_gradient_squared）

θ+ =增量

更精确地，梯度平方的和实际上是梯度平方的衰减的和。 衰减率仅表示最近的梯度²很重要，而很久以前的梯度基本上已被忘记。 附带说明一下，术语”衰减率”有点用词不当。 与我们在动量中看到的衰减率不同，除衰减外，此处的衰减率还具有缩放效果：它将整个项按比例缩小（1-delay_rate）。 换句话说，如果将delay_rate设置为0.99，则除了衰减外，梯度平方的总和将为AdaGrad的sqrt（1- 0.99）= 0.1，因此对于相同的步骤，该步长约为10倍。 学习率。

> RMSProp (green) vs AdaGrad (white). The first run just shows the balls; the second run also shows

为了了解衰减的影响，在这种直接对比中，AdaGrad white（白色）最初与RMSProp（绿色）保持一致，这与调整后的学习速率和衰减速率一样。 但是AdaGrad的平方平方和累积起来如此之快，以至于很快就变得庞大起来（由动画中的平方大小证明）。 他们付出了沉重的代价，最终AdaGrad实际上停止了前进。 另一方面，由于衰减率的原因，RMSProp始终将正方形保持在可管理的大小范围内。 这使得RMSProp比AdaGrad更快。

Adam

最后但并非最不重要的一点是，Adam（自适应矩估计的缩写）兼具动量和RMSProp的优点。 Adam在经验上表现良好，因此近年来，它通常是深度学习问题的首选。

让我们看看它是如何工作的：

sum_of_gradient = previous_sum_of_gradient * beta1 +渐变*（1-beta1）

sum_of_gradient_squared = previous_sum_of_gradient_squared * beta2 +渐变²*（1- beta2）

delta = -learning_rate * sum_of_gradient / sqrt（sum_of_gradient_squared）

θ+ =增量

Beta1是第一时刻的衰减率，即梯度（又称为动量）之和，通常设置为0.9。 Beta 2是第二个时刻的衰减率，是梯度平方的总和，通常设置为0.999。

> Step-by-step illustration of Adam descent. Watch live animation in the app.

Adam从动量获得速度，并从RMSProp获得了在不同方向适应梯度的能力。 两者的结合使其功能强大。

结束语

既然我们已经讨论了所有方法，那么让我们来看一下到目前为止讨论的所有下降方法的竞赛！ （不可避免地会挑剔一些参数。获得品味的最佳方法是在自己周围玩耍。）

在这个地形上，有两个小山丘阻碍了通向全球最小值的道路。 亚当是唯一能够达到全球最低要求的人。 无论采用哪种方式调整参数，至少从此起始位置开始，其他方法都无法到达该位置。 这意味着动量和自适应梯度都无法解决问题。 这实际上是两者的结合：首先，动量使亚当超出了其他所有球停止运动的局部最小值。 然后，根据梯度平方和进行的调整将其拉到一边，因为它是较少探索的方向，从而导致了最终的胜利。

这是另一场比赛。 在此地形中，有一个围绕全局最小值的平坦区域（高原）。 通过一些参数调整，Momentum和Adam（由于其动量分量）可以使其居中，而其他方法则不能。

总之，梯度下降是一类算法，旨在通过遵循梯度来找到函数上的最小点。 香草梯度下降正好遵循梯度（由学习率定标）。 改善梯度下降的两个常用工具是梯度的总和（第一力矩）和梯度平方的总和（第二动量）。 动量法使用具有衰减率的第一时刻来获得速度。 AdaGrad使用第二个矩不衰减来处理稀疏特征。 RMSProp使用第二矩并以衰减率从AdaGrad加速。 亚当同时使用第一刻和第二刻，通常是最佳选择。 梯度下降算法还有其他一些变体，例如Nesterov加速梯度，AdaDelta等，在本文中未涉及。

最后，我将让您保持这种势头下降而不会衰减的趋势。 它的路径构成了一个有趣的模式。 我还没有看到实际的用途，但只是为了娱乐而已。

试一下本文中用于生成所有可视化的可视化工具，然后看看您发现了什么！

参考资料和相关链接：

[1] http://www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/slides/lecture_slides_lec6.pdf

[2] https://ruder.io/optimizing-gradient-descent

[3] https://bl.ocks.org/EmilienDupont/aaf429be5705b219aaaf8d691e27ca87

(本文翻译自Lili Jiang的文章《A Visual Explanation of Gradient Descent Methods (Momentum, AdaGrad, RMSProp, Adam)》，参考：https://towardsdatascience.com/a-visual-explanation-of-gradient-descent-methods-momentum-adagrad-rmsprop-adam-f898b102325c)