【这些极有可能成立的数学猜想，却都存在一个大反例！】
只差一步
就成为了定理
上期回顾：五大蒙蔽你的数学假象（传送门），今天继续！
1
The Strong Law ofSmall Numbers 论文中提到的一些例子节选
论文其实就是要表明一个观点：You cannot tell by looking.
A.费马数：
若为素数，其必要条件是
为2的幂
证：
假设有某个奇数因子
，设
,k为正整数
为不为1的正整数
所以含因子
，为合数，矛盾！
那么反过来是不是每一个2的幂对应一个素数呢，著名民间科学家费马发现
(求教Latex怎么左对齐……)
前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为是质数。
1640年费马猜想：的数都是质数
(费马没给出证明……)
反例：
1732年擅长计算的Euler给出
注：
之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后，发现n大于4小于47时，Fn都是合数
目前只知道n=0,1,2,3,4时，F(n)是素数
甚至有人猜想，n>4时，F(n)均是合数…（还没有反例）
费马如果能看到，他的表情一定是：
B.梅森素数
如果是素数，那么一个必要条件是n是素数，证明和A相似，这里略去
但是若n是素数，一定是素数么？
计算一下，当n=2,3,5,7时是对的
反例：
注：本来并不想写出这个梅森素数，因为这个反例并不巨大，但是其很著名，同时也反映了一些问题。
寻找梅森素数一直是一个有趣的课题，是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。
C.
均是素数
但是，
不是素数
D.
考虑数列
可以求出
猜想：总是一个整数
事实上，这对n<30均成立
反例：
不是整数。
证明如下：
得到递推式后，两边同时模43,如果是整数，那么两边会不同余
对于更多数列和素数上的巧合那就数不胜数了，可参见论文中更多例子
可见猜想虽然很多时候从直觉出发，但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立，然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候，那么就会自然而然出现巧合了，
因为只有1个1,1个2,1个3,1个4,1个5,1个6,1个7,……却有无穷个数列和无穷多个数学问题，所以各种巧合很有可能发生，但是由于计算能力有限我们往往枚举过程中探知不到矛盾。
E.
对n为正整数总是互素么？
如果用计算机去从1开始一个个验证，那么计算机是无法发现反例的
(很有可能运行超时)
其实对于1亿亿内的n都可以成立这个命题
但是这真的对所有n成立麽？
反例：
第一个出现在
时
2
佩尔方程
很多时候知道一些数学知识后，才能轻易地解决一些看似很复杂的东西。
假定你不知道佩尔方程的理论，那么关于方程
的正整数解的存在性，
你可能会先试探下一些某些较小的数字，如
等等
来试图得到一些解，可是无功而返。
由于,也许x会比较大吧,我们可以通过程序来跑一跑
x,y在1~10000之间时是否能够得到解
（省略程序）
然而还是无功而返。
如果我告诉你，在x或y小于一万亿的范围内方程还是没有正整数解！
而
有一组正整数解（21,2）
而
有一组正整数解（1351,130）
你是否会
猜想：
方程没有正整数解
反例：
时
且这是方程最小正整数解
注：
好了……这个正整数解肯定不是靠遍历跑出来的，计算机也吃不消
其实只要计算的渐进连分数
(这个有简单递推公式)
是连分数序列的最小正周期，
若是偶数，则就是方程的一组特解，
否则是方程的一组特解。
证明参考任何一本讲述了Pell方程的初等数论书籍或者wiki
Pell方程即形如的方程，D是正整数但不是完全平方数
事实上我们可以证明，Pell方程一定有无穷多组正整数解，这是初等数论一个经典结果。
可见：
很多时候一些对小数验证的猜想不一定对大数成立。
这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题（如费马大定理）不能通过验证较小的整数达到证明目的（如1万亿以内），比如这个Pell方程，其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的，但是它有解而且有无穷多正整数解。
这恰好说明了发展数学理论的重要性，比如Pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(Lagrange有重要贡献)，而不是单纯的枚举法。
再注：
阿基米德群牛问题
论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……
3
不知道具体数字的反例
数论中一个非常漂亮的结果就是素数定理：
即对正实数，定义
为不大于的素数个数，我们可以用一些初等函数来估计π(x),从而较对素数分布得到一些较精确的结果
素数定理是说：
一个直观的理解就是当N充分大时，在1到N之间任取一个数，其是素数的概率大概为
这个结果等价于时
其中
(不难证明积分存在且有限)
第二个等价成立的原因可以用洛必达法则证明
问题来了：
既然，那么究竟有多接近呢？
下面有一组数据
第一列为n的值，第二列为的值，第三列为
的值(取6位有效数字)
似乎总有第二列对应值＜第三列对应值
猜想：
这个猜想确实是Reasonable的，上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。
并且我们有了很多类似的结果如
(当x大于55)
(当x大于355991)
哪怕我们能找到一个确定的N，使n>N时有
我们就可以对n在1-N之间有限的情况验证即可
（这种技巧在数论证明中真是屡见不鲜，有限情况都靠计算机即可）
反例：
John Edensor Littlewood 1914年证明了这样的n一定存在
使得
All numerical evidence then available seemed to suggest that π(x) was always less than li(x). Littlewood’s proof did not, however, exhibit a concrete such numberx
他还进一步证明了在会无穷多次变号
注：
接下来该我们的Stanley Skewes 出场了
Stanley Skewes 何许人也？
南非数学家，Littlewood 的学生之一，Littlewood是他的研究生导师，肯定当时给了他这个题目让他做……
Stanley Skewes于1933年证明了存在一个自然数n，n小于使得
不过他用到了黎曼猜想是正确的这个假设
当年他34岁……
Stanley Skewes于1955年证明了存在一个自然数n，n小于使得
不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设，可谓真正的证明了上界的存在性。
当年他56岁…
现在，我们用Skewes’ number表示最小的自然数n使得
现在有更好的估计 Skewes’ number比小
但是可见它还是很大，所以计算机不能很好地计算出它（计算能力还是不够……）
但是它还是很小的，如果和葛立恒数相比，它远远小于葛立恒数
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