Photo by Clem Onojeghuo on Unsplash

与我的朋友交谈时，我经常听到：”哦，卡尔曼过滤器……我通常学习它们，理解它们，然后我忘记了一切”。 好吧，考虑到卡尔曼滤波器（KF）是世界上应用最广泛的算法之一（如果环顾四周，您80％的技术可能已经在内部运行某种KF），让我们尝试将其弄清楚 一劳永逸。

在这篇文章的结尾，您将对KF的工作原理，其背后的想法，为什么需要多个变体以及最常见的变体有一个直观而详细的了解。

状态估计

KF是所谓的状态估计算法的一部分。 什么是状态估计？ 假设您有一个系统（让我们将其视为黑匣子）。 黑匣子可以是任何东西：您的风扇，化学系统，移动机器人。 对于这些系统中的每一个，我们都可以定义一个状态。 状态是变量的向量，我们很想知道它们，它们可以描述系统在特定时间点的”状态”（这就是为什么将其称为状态）。 “可以描述”是什么意思？ 这意味着，如果您知道在时间k处的状态向量和提供给系统的输入，则可以（同时使用系统工作原理的一些知识）知道在时间k + 1处的系统状态。

例如，假设我们有一个移动的机器人，并且我们关心知道它在空间中的位置（而不关心它的方向）。 如果我们将状态定义为机器人的位置（x，y）及其速度（v_x，v_y），并且我们有一个关于机器人如何运动的模型，那么就足以确定机器人的位置和位置。 下一次瞬间。

因此，状态估计算法估计系统的状态。 为什么要估算呢？ 因为在现实生活中，外部观察者永远无法访问系统的真实状态。 通常有两种情况：您可以测量状态，但是测量结果会受到噪声的影响（每个传感器只能产生一定精度的读数，可能对您来说还不够），或者您无法直接测量状态。 一个示例可能是使用GPS计算上述移动机器人的位置（我们将位置确定为状态的一部分），这可能会给您带来多达10米的测量误差，对于您可能想到的任何应用程序来说，这可能都不足够 。

通常，在进行状态估计时，您可以放心地假设您知道系统的输入（因为是您提供的）和输出。 由于测量了输出，因此它也会受到一定的测量噪声的影响。 据此，我们将状态估计器定义为一个系统，该系统接收要估计其状态的系统的输入和输出，并输出系统状态的估计值。传统上，状态用x表示，输出用 y或z，u是输入，而tilde_x是估计状态。

System and State Estimator block diagram.

卡尔曼滤波器

您可能已经注意到，我们已经讨论了一些有关错误的内容：

· 您可以测量系统的输出，但是传感器会给出测量误差

· 您可以估计状态，但是作为状态估计它具有一定的置信度。

除此之外，我说过，您需要某种系统知识，您需要了解系统”行为”的模型（稍后会详细介绍），您的模型当然并不完美，因此您将拥有 另一个错误。

在KF中，您可以使用高斯分布来处理所有这些不确定性。 高斯分布是表示您不确定的事物的一种好方法。 您当前的信念可以用分布的均值表示，而标准差可以说明您对信念的信心。

在KF中：

· 您的估计状态将是具有一定均值和协方差的高斯随机变量（它将告诉我们该算法”信任”当前估计的程度）

· 您对原始系统的输出测量的不确定性将用均值为0和一定协方差的随机变量表示（这将告诉我们我们对测量本身的信任程度）

· 系统模型的不确定性将由均值为0和一定协方差的随机变量表示（这将告诉我们我们对所使用模型的信任程度）。

让我们举一些例子来了解其背后的想法。

· 不良的模型，好的传感器让我们再次假设您想跟踪机器人的位置，并且您在传感器上花费了很多钱，它们为您提供厘米级的精度。 另一方面，您根本不喜欢机器人技术，您在Google上搜索了一下，然后发现了一个非常基本的运动模型：随机游动（基本上是一个仅由噪声给出运动的粒子）。 很明显，您的模型不是很好，不能真正被信任，而您的测量结果却很好。 在这种情况下，您可能将使用非常窄的高斯分布（小方差）来建模测量噪声，而使用非常宽的高斯分布（大方差）来建模不确定性。

· 传感器质量差，模型好如果传感器质量不佳（例如GPS），但您花费大量时间对系统进行建模，则情况恰好相反。 在这种情况下，您可能将使用非常窄的高斯分布（小方差）来建模模型不确定性，而使用非常宽的高斯分布（大方差）来建模噪声。

Wide variance vs. small variance Gaussian distributions.

估计状态不确定性如何？KF将根据估计过程中发生的事情进行更新，您唯一要做的就是将其初始化为足够好的值。 “足够好”取决于您的应用程序，您的传感器，您的模型等。通常，KF需要一点时间才能收敛到正确的估计值。

KF如何运作？

如前所述，要让KF正常工作，您需要对系统有”一定的了解”（”不确定”，即不完美的模型）。 特别是对于KF，您需要两个模型：

· 状态转换模型：某些函数，在时间k给出状态和输入，可以在时间k + 1给出状态。

· 测量模型：给定时间为k的某个函数，可以为您提供同一时间的测量结果

稍后，我们将了解为什么需要这些功能，让我们首先看一些示例以了解它们的含义。

状态转换模型，此模型告诉您系统如何随时间演变（如果您还记得的话，我们之前曾谈到状态如何具有足够的描述性以及时推断系统行为）。这在很大程度上取决于系统本身以及您对系统的关心。如果您不知道如何对系统建模，则可以使用一些Google搜索来提供帮助。对于运动的物体（如果以适当的采样率测量），可以使用恒速模型（假定物体以恒定的速度运动），对于车辆，可以使用单轮脚踏车模型，等等……让我们假设一种或另一种，我们建立了一个模型。我们在这里做出一个重要的假设，这对于KF的工作是必要的：您的当前状态仅取决于先例。换句话说，系统状态的”历史”浓缩为先前的状态，也就是说，给定先前的状态，每个状态都独立于过去。这也称为马尔可夫假设。如果这不成立，就不能仅凭先例来表达当前状态。

度量模型度量模型告诉您如何将输出（可以度量）和状态联系在一起。 直观上，您需要这样做，因为您知道测量的输出，并且想要在估计期间从中推断出状态。 同样，此模型因情况而异。 例如，在移动机器人示例中，如果您关心位置并且拥有GPS，则您的模型就是身份功能，因为您已经在测量状态的嘈杂版本。

每个步骤的数学公式和解释如下：

那么，KF实际如何运作？ 该算法分两个步骤工作，称为预测和更新。 假设我们在时间k处，并且那时我们有估计状态。 首先，我们使用状态转换模型，并使估计状态演化到下一个时刻（1）。 这相当于说：鉴于我当前对状态的信念，我所拥有的输入以及对系统的了解，我希望我的下一个状态是这样。 这是预测步骤。

现在，由于我们还具有输出和测量模型，因此我们实际上可以使用实际测量”校正”预测。 在更新步骤中，我们采用预期状态，我们计算输出（使用测量模型）（2），然后将其与实际测量的输出进行比较。 然后，我们以”智能方式”使用两者之间的差异来校正状态的估计（3）。

通常，我们用顶点-表示校正前来自预测步骤的状态估计。 K称为卡尔曼增益。 那才是真正的聪明之处：K取决于我们对测量的信任程度，我们对当前估计的信任程度（这取决于我们对模型的信任程度），并根据此信息K”决定”了预测的估计量 用测量值校正。 如果我们的测量噪声”小”，而不是我们相信来自预测步骤的估计，那么我们将使用该测量对估计进行很多校正，如果相反，那么我们将对其进行最小限度的校正。

注意：为简单起见，我写方程式时就好像在处理普通变量一样，但是您必须考虑到在每一步中我们都在处理随机的高斯变量，因此我们还需要通过函数传播 变量的协方差，而不仅仅是均值。d

Example of real position and estimation at each step of the KF algorithm.

肯德基家族

根据所使用的模型类型（状态转换和测量），可以将KF分为两个大类：如果模型是线性的，则具有线性卡尔曼滤波器，而如果它们是非线性的，则具有非线性卡尔曼滤波器。

为什么要区分？ 好吧，KF假设您的变量是高斯变量，当通过线性函数传递时，高斯变量仍然是高斯变量，如果通过非线性函数传递，则不正确。 这打破了卡尔曼假设，因此我们需要找到解决方法。

从历史上看，人们发现了两种主要方法：用模型作弊和用数据作弊。如果您对模型作弊，则基本上可以使当前估计值周围的非线性函数线性化，从而使您回到可以工作的线性情况。这种方法称为扩展卡尔曼滤波器（EKF）。该方法的主要缺点是您必须能够计算f（）和h（）的雅可比行列式。另外，如果您使用数据作弊，则可以使用非线性函数，但随后尝试对非高斯分布进行”高斯化”（如果该词甚至存在）。这是通过称为”无味转换”的智能采样技术完成的。通过此变换，您可以（均值）和均方差来描述一个分布（在前两个时刻仅完全描述了高斯分布）。这种方法称为无味卡尔曼滤波器（UKF）。从理论上讲，UKF优于EKF，因为与模型线性化相比，Unscented Transform对结果分布的近似更好。在实践中，必须具有相当大的非线性才能实际看到较大的差异。

肯尼迪行动

由于我谈到了很多有关带GPS的移动机器人的内容，因此我就此情况作了简短的演示（如果要使用它，可以在这里找到代码）。 使用独轮车模型生成机器人运动。 用于KF的状态转换模型是等速模型，其状态包含x和y位置，转向角及其导数。

机器人会及时移动（实际位置显示为黑色），在每一步中，您都会得到非常嘈杂的GPS测量值，该测量值给出x和y（红色）并估算位置（蓝色）。 您可以使用不同的参数，看看它们如何影响状态估计。 如您所见，我们可以进行非常嘈杂的测量，并对实际位置进行很好的估算。

KF in action: a robot real path (black) is tracked with a KF (blue) from noisy measurements (red).

奖励：卡尔曼增益的直观含义

让我们看一下线性OF情况下卡尔曼增益的公式，并尝试更深入地了解增益的工作原理。

其中P_k是当前估计状态的协方差（我们对估计的信心程度），C是测量模型的线性变换，使得y（k）= Cx（k），R是测量噪声的协方差矩阵 。 请注意，分数表示法并不是真正正确的，但是可以使发生的事情更容易可视化。

根据等式，如果R变为0，则我们有：

代之以定义的算法步骤（3），可以看到我们将完全忽略预测步骤的结果，并且使用测量模型的逆变换来获得仅来自测量的状态估计。

相反，如果我们非常信任模型/估计，则P_k将趋于0，从而得出：

因此，我们得到的最终估计与预测步长输出相同。

请注意，我正在交替使用”信任模型”和”信任当前估计”。 它们并不相同，但它们是相关的，因为我们对预测步骤的估计的信任程度是我们对模型的信任程度（因为仅使用模型完成预测步骤）加上我们对模型的信任程度的组合。 估计上一步过滤。

奖励2：库

有很多不错的库可以在线计算KF，这是我的一些最爱。

作为GO爱好者，我将从这个非常不错的GO库开始，其中包含几个预先实现的模型：rosshemsley/kalman

对于Python，您可以查看 pykalman.github.io

结论：我们深入研究了什么是状态估计，卡尔曼滤波器的工作原理，其背后的直觉，如何使用它们以及何时使用。 我们介绍了一个玩具（但现实生活中）的问题，并介绍了如何使用卡尔曼滤波器解决该问题。 然后，我们更深入地研究了Kalman滤波器在幕后的实际作用。

干杯!

(本文翻译自Lorenzo Peppoloni的文章《Kalman Filters for Software Engineers》，参考：https://towardsdatascience.com/kalman-filters-for-software-engineers-3d2a05dee465)